Ο Σαββίδης γεννήθηκε στις 27 Μαρτίου 1959 στο χωριό Σάντα, της περιφέρειας Τσάλκας της πρώην Σοβιετικής Δημοκρατίας της Γεωργίας, γιος οικογένειας εργατών ελληνικής καταγωγής από τον Πόντο. Είναι παντρεμένος με την Κυριακή Σαββίδου, με την οποία έχει δύο γιους, τους Γιώργο και Νίκο. Στις 10 Αυγούστου 2012 απέκτησε το πλειοψηφικό πακέτο των μετοχών του ΠΑΟΚ. Στις 26 Φεβρουαρίου 2013, με απόφαση που δημοσιεύτηκε στην Εφημερίδα της Κυβερνήσεως, ο Ιβάν Σαββίδης απέκτησε ελληνική ιθαγένεια, με μία διαδικασία τιμητικής πολιτογράφησης, με την αιτιολογία ότι “προσέφερε εξαιρετικές υπηρεσίες στην Ελλάδα”. Είναι δημότης Θέρμης από το 2017.
